Kì thi vô địch Toán Putnam

[Ngô Từ]

Kì thi vô dịch toán Putnam (tên đầy đủ là William Lowell Putnam) là một kì thi toán học ở miền Bắc nước Mỹ dành cho sinh viên. Hàng năm vào ngày thứ bảy đầu tiên của tháng 12, hơn 2000 sinh viên sẽ giải 12 bài toán trong vòng 6 tiếng đồng hồ (được chia thành hai buổi, mỗi buổi 3 tiếng), giải thưởng dành cho cá nhân và đồng đội (theo trường) là một chút tiền và vài phút danh dự. Các bài tập và lời giải cùng với kết quả và thông kê được đắng trên tạp chí toán học nổi tiếng của Mỹ: AMM (American Mathematical Monthly), và tổng kết cho một năm thường được tổ chức vào tháng 9 năm sau.

Trang web lưu trữ các đề thi và lời giải (tuy nhiên đây không phải là lời giải chính thức của kì thi) có địa chỉ là:

http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml
(Đề thi và lời giải đều bằng tiếng Anh)

[Ngô Từ]

Đề thi Putnam lần thứ 62 (1/12/2001)

A-1 Xét một tập hợp S và một phép toán nhị phân * trên S, nghĩa là với mọi a,b thuộc S, a*b cũng thuộc S. Cho biết rằng (a*B)*a=b đổi với mọi a,b thuộc S. Chứng minh rằng a*(b*a)=b đối với mọi a,b thuộc S

A-2 Bạn có các đồng xu C1,C2, ...Cn . Biết rằng đối với mỗi k, Ck được ưu tiên (nghĩa là hai mặt sấp và ngửa của Ck sẽ không có xác xuất như nhau khi gieo nữa - một đồng xu bình thường thì hai mặt sẽ có xác xuất như nhau) sao cho khi gieo đồng xu Ck thì sẽ có xác xuất 1/(2k+1) là đồng xu sẽ năm sấp. Hỏi khi gieo n đồng xu thì xác xuất để có sổ đồng xu nằm sấp là lẻ là bao nhiêu? Hãy biểu diễn kết quả là một hàm phân số của n.

A-3 Đối với mỗi số nguyên m, xét đa thức: (ở đây ta kí hiệu a^b nghĩa là a luỹ thừa b, ví dụ x^2 nghĩa là x bình phương)
Pm(x) = x^4 - (2m+4)x^2 + (m-2)^2
Đối với những giá trị nào của m thì Pm(x) là tích của hai đa thức với hệ số nguyên? (Tìm tất cả m như vậy)

A-4 Tam giác ABC có diện tích bằng 1. Ba điểm E,F,G nằm tương ứng trên ba cạnh BC, CA, AB sao cho AE chia đôi (nghĩa là chia thành hai phần bằng nhau) doạn BF tại diểm R, BF chia đôi doạn CG tại điểm S, CG chia đôi đoạn AE tại điểm T. Tính diện tích tam giác RST.

A-5 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên a,n sao cho a^(n+1) - (a+1)^n = 2001

A-6 Liệu một cung của một parabol nằm trong một hình tròn bán kính 1 có độ dài >4 được không?

Buổi thứ hai

B-1 Cho n là một số nguyên dương chẵn. Người ta viết các số 1,2,3,... n^2 vao trong hình kẻ ô vuông kích thước n x n sao cho dòng thứ k, nếu đếm từ trái sang phải thì là:

(k-1)n + 1, (k-1)n + 2, ... (k-1) n + n .

Người ta lại tô màu các ô vuông sao cho một nửa sổ các ô vuông trên mỗi hàng cũg như mỗi cột là màu đỏ và nửa còn lại là màu đen. Chứng minh rắng với mỗi một phép tô màu như vậy thì tổng các số nằm trên các ô vuông đỏ bằng tổng các sổ nằm trên các ô vuông đen.

B-2 Tìm tất cả các cặp số thực (x,y) thoả mãn hệ phương trình sau đây:

1/x + 1/(2y) = (x^2 + 3y^2)(3x^2 + y^2)
1/x - 1/(2y) = 2(y^4 - x^4)

B-3 Đối với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu /n/ là số nguyên gần nhất của căn bậc hai của n. Tính giá trị của:

∑ (n đi từ 1 đến vô cùng) (2^/n/ + 2^(-/n/) ) / 2^n

B-4 Gọi S là tập hợp các số hữu tỉ khác 0, khác 1, khác -1. Xét hàm f : S -> S định nghĩa bằng: f(x) = x - 1/x. Kí hiệu fn(t) là f(...f(t)..) với n lần f. (n là số nguyên dương). Kí hiệu f(A) với A là một tập con tuỳ ý của S là :
f(A) = {y | tồn tại x thuộc A sao cho y = f(x)} , nói cách khác đây là tập hợp tật cả các giá trị của f(x) với x thuộc A
Chứng minh hoặc phủ định mệnh đề sau:
Giao của các tập hợp fn(S) với n = 1 tới vô cùng là một tập rỗng

B-5 Gọi a và b là hai số thực trong khoảng (0,1/2) và g là một hàm liên tục và có giá trị thực sao cho g(g(x)) = ag(x) + bx đối với mọi số thực x. Chứng minh rắng tồn tại một hằng số c sao cho g(x) = cx (hay nói cách khác chứng minh rắng g là hàm tuyến tính)

B-6 Giả sử rằng {An}n>=1 là một dãy tăng các số thực dương sao cho limAn/n = 0 khi n tiến ra vô cùng.
Chứng minh hoặc phủ định mệnh đề sau: Tồn tại nhiều vô hạn các số nguyên dương n sao cho An-i + An+i < 2An với i = 1,2, ... n-1?

[BMVKTKH]

Đây cũng là kì thi toán của Mĩ(USA Mathematical Talen Search), rất hay , gửi bài lên cho các bác cùng tham khảo nhé em cũng đã dịch rồi đó ạ

VÒNG 3 (2001)

bài 1: giả sử P(x)=x^5+x^2=1 có 5 nghiệm r1 , r2 , ..r5, đặt Q(x)=x^2-2
Hãy xác định tích Q(r1)Q(r2)...Q(r5)

bài 2:
Hãy tìm số nguyên dương bé nhất sao cho số này có các ước số tận cùng bằng 0,1,2,...9

Vòng 4(2001)
bài 1
cho 2 điểm A,Btrên 1 đường tròn sao cho AB kô là đường kính, C là trung điểm cung nhỏ AB, gọi F là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và B,D,E lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến tại C với 2 tiếp tuyến tại A và B
CMR diện tích tam giác DEF>1/2Dt ABC

bài 2
xác định tất cả các số nguyên dương N sao cho khi N được viết trong hệ thập phân thì N > tổng các bình phương những chữ số của nó 1 đơn vị

[MinhKhánh]

Tui thử giải bài 1(v3)nhé
có phải ta có P(x)=(x-r1)(x-r2)....(x-r5) và Q(r1)(r2).....Q(r5)=(r1^2-2).....(r5^2-2)

Với mọi i =1,2,...,5 , ri^2-2=(căn bậc 2 của 2-ri)*(-cbhcủa 2-ri)
nên Q(r1)..Q(r5)=(Cbh2-r1)(Cbh2-r2)......(cbh2-r5)*(-Cbh2-r1)......*(-cbh2-r5)
=P(Cbh2)P(-Cbh2)={9CBh2)^5+(Cbh2)^2+1]*{(-CBh2)^5+(-Cbh2)^2+1]

Vậy Q(r1)*(r2)....*(r5)=-23

có đúng không zậy bác?

[phuongnam]

Trời, mấy bài toán này khó quá dzậy. Mới có 7 năm không đụng đến toán mà anh quên hết mất rồi. Chắc là phải giở vở ra học lại thì mới mong làm được một vài bài.