Tản mạn toán học

[pacific_boy571]

Chắc hẳn không ai là không biết đến đẳng thức đẹp đẽ của tam giác Pitago:
3^2+ 4^2=52
Đẳng thức này có 3 số hạng, mỗi số là bình phương của các số nguyên liên tiếp. Tuy nhiên các đẳng thức tương tự thì chưa hẳn ai cũng biết.
Ta bắt đầu với đẳng thức gồm 5 số hạng:
10^2+11^2+12^2 = 13^2+14^2=365.
Truyện kể rằng, Họa sỹ Bedinxki có vẽ bức tranh với tựa đề "trí lực", trong đó có một tấm bảng đen. Trên bảng có viết một đề toán:
http://mathlib.info/images/uploads/dangthucdep1.gif
Ở phía dưới có nhiều học sinh đang chăm chú tính toán. Nếu biết được đẳng thức trên thì dễ thấy đáp số của đề toán là 2.
Bức tranh trên là vẽ về đề toán của giáo sư Latinski, người đã từ bỏ chức vụ và đời sống thành thị về dạy dỗ con cái, các trẻ em nghèo khó ở nông thôn. Tiến sỹ Cuchen người Mỹ đã rất khâm phục vị giáo sư tiểu học bỏ qua mọi danh lợi này. Qua các đẳng thức trên, ông tự hỏi rằng liệu có tìm được các đẳng thức tương tự hay không? Cụ thể là một đẳng thức gồm 7 số hạng là bình phương của các số tự nhiên liên tiếp? Và ông đã tìm ra đẳng thức sau:http://mathlib.info/images/uploads/dangthucdep2.gif
Phát hiện đó làm chính bản thân ông cũng thấy hết sức kỳ lạ, khiến ông tiếp tục nghiên cứu. Cuối cùng, ông cũng tìm ra quy luật của các đẳng thức. Nếu viết ra trên mỗi dòng thì sẽ được một hình tháp hết sức đẹp đẽ.
http://mathlib.info/images/uploads/dangthucdep3.gif
Quy luật của đẳng thức trên như sau: Gọi n là số số hạng ở vế phải, thì n + 1 là số số hạng ở vế trái, điều quan trọng là số tự nhiên đứng giữa là số nào? Tiến sỹ Cuchen đã tìm ra: đó là số 2n(n+1).
Ví dụ:
n = 1: 2n(n + 1) = 4;
n = 2: 2n(n + 1) = 12;
n = 3: 2n(n + 1) = 24;
n = 4: 2n(n + 1) = 40;...
Với n = 5, 2n(n + 1) = 60, ta có đẳng thức
http://mathlib.info/images/uploads/dangthucdep4.gif
Thật ra bài toán này cũng không quá khó: Gọi x^2 là số hạng ở giữa. Áp dụng công thức quen thuộc:
http://mathlib.info/images/uploads/dangthucdep5.gif
Ta có: Vế trái là:
http://mathlib.info/images/uploads/dangthucdep6.gif
vế phải là:
http://mathlib.info/images/uploads/dangthucdep7.gif
Do đó ta tìm x theo n để:
http://mathlib.info/images/uploads/dangthucdep8.gif
Áp dụng công thức trên, và rút gọn (dành cho bạn đọc), cuối cùng ta được:
http://mathlib.info/images/uploads/dangthucdep9.gif
Suy ra x = 2n(n + 1).

[pacific_boy571]

Kim tự tháp khổng lồ Kheops có cạnh đáy dài 220m, mặt đáy gồm 24.200 khối đá, mỗi khối có kích thước 1m x 1m x 2m, nặng hơn hai tấn… Bao nhiêu giả thuyết của các nhà khoa học hiện đại vẫn không lý giải được tại sao người Ai Cập lại có thể xây dựng được một công trình phức tạp với những khối đá khổng lồ được đưa lên cao như vậy. Kheops còn bí ẩn hơn khi nó tự tạo ra một "từ trường" kỳ lạ trong lòng tháp có thể giữ rau quả tươi nguyên hay làm cho kim loại đã gỉ sáng lên.

Những điểm chết lý tưởng trong không gian!
http://mathlib.info/images/uploads/kimtuthap.jpg
Theo tính toán của các nhà xây dựng, khoa học… thì bằng những cách thô sơ như dùng các con lăn trục tải… con người có thể đưa được các khối đá khổng lồ, nặng vài tấn lên cao. Alexander Grigoriev, một chuyên gia xây dựng của Ukraina, đã đề xướng cách xây dựng Kim tự tháp bằng cách "kích thuỷ lực" với hệ thống pítông nâng rất phức tạp. Với tính toán của ông này thì chỉ mất hai năm là có thể xây được một kim tự tháp. Thời gian đó phù hợp với thời gian ướp xác của một pharaon từ lúc qua đời. Tuy vậy cách xây dựng của Grigoriev hoàn toàn không tạo ra được "từ trường" giống như ở trong lòng kim tự tháp cổ đại.
Điều các nhà khoa học kinh ngạc và khó hiểu nhất là không hiểu "sức mạnh" từ trường đó phát ra từ đâu. Nếu như chỉ chồng những khối đá lên nhau thì ngày nay, bằng công nghệ xây dựng hiện đại, nhiều nơi đã xây được các mô hình kim tự tháp với các thông số kỹ thuật xây dựng y hệt những toà kim tự tháp cổ đại. Nhưng bí mật trên vẫn không phát lộ. Từ lực phát ra trong lòng kim tự tháp mạnh đên mức có thể làm sáng một thanh gươm bị cùn gỉ trong thời gian ngắn hay giữ rau quả tươi trong nhiều tuần. Ban đầu các nhà khoa học cho rằng các pharaon đã chôn một lượng vũ khí khổng lồ trong lòng đất. Nhưng các máy dò kim loại không phát hiện bất cứ một dấu hiệu nào. Nhiều người mê tín thì coi từ lực đó chính là linh hồn bất tử của các pharaon. Nếu những điều ước đoán trên không đúng thì phải chăng chính "tự thân" kết cấu của kim tự tháp đã tạo ra từ lực kỳ lạ đó. Nhưng các nhà xây dựng hiện đại đã dập khuôn mô hình kim tự tháp và đã thất bại.
Như vậy có thể bí mật nằm trong một điều chúng ta hầu như không ngờ tới. Đó chính là không gian. Những kiến thức toán học, đặc biệt là hình học của người Ai Cập xưa vẫn còn rất nhiều điều mới mẻ và bổ ích với toán học hiện đại. Theo những hình vẽ trên các hang động cổ thì các nhà khoa học xưa tính toán rằng một vật thể tồn tại trên mặt đất có thể chịu tác động từ nhiều nguồn lực bên ngoài. Hơn nữa, bản chất của vật đó cũng tạo ra một vùng "từ trường" (thuật ngữ hiện đại). Trong một hình vẽ mô tả điều đó, một vật trên Trái Đất này có thể chịu tác động bởi nguồn lực từ Mặt Trời, Trái Đất, Mặt Trăng, chòm sao Đại Hùng… Nó còn có thể chịu tác động bởi một số nguồn lực khác nữa nhưng không lớn lắm. Nói chung, những lực này luôn tác động lên vật đó và thường "xô đẩy" vật theo một chiều hướng nào đó tuỳ theo khi đó lực của Mặt Trời mạnh hơn hay của các nguồn khác mạnh hơn. Thường thường lượng "từ lực" chênh lệch trên triệt tiêu gần như trọn vẹn những lực của vật đó và các vật tương tác xung quanh. Thế cho nên, mọi vật mới luôn luôn "cố định trong đường biên" của chính mình.
Từ giả thuyết này, chúng ta quay lại nguồn lực bí ẩn "tự nhiên" trong lòng kim tự tháp. Để nguồn lực đó tồn tại tự nhiên, các nhà xây dựng dường như phải tính toán sao cho lượng "từ lực" chênh lệch đó càng nhỏ càng tốt. Theo cách tính toán của giả thuyết trên thì bắt buộc trong không gian phải tồn tại những "điểm chết" lý tưởng. Tại các điểm này, các nguồn lực tác động lên một vật gần như tự triệt tiêu nhau hoàn toàn. Sự triệt tiêu này không chỉ thoáng chốc mà nó dường như là vĩnh viễn. Nơi điểm đó, các nguồn lực tự nhiên tự cân đối và hài hoà ở số 0 lý tưởng. Đây có lẽ chính là "tiền đề" cần thiết nhất cho việc xây dựng kim tự tháp. Chúng ta thử tưởng tượng trong không gian bao là có tồn tại những điểm 0 lý tưởng như vậy hay không? Câu trả lời này có lẽ người Ai Cập đã trả lời. Còn các nhà khoa học hiện đại cũng mới chỉ tiến gần đến câu trả lời khẳng định khi họ tìm ra những "lỗ đen" hay những khoảng "không gian lõm".
Như vậy chúng ta đã có thể giải mã bí mật nguồn từ lực kỳ lạ trong lòng kim tự tháp. Mặc dù không phải là tất cả những khối đá khổng lồ đó nhưng chắc chắn sẽ có một số khối đá tìm được vị trí tuyệt diệu đó và chúng chính là nguồn gốc của từ trường kỳ lạ này.

Đường xoáy trôn ốc bí ẩn
Trong thời hiện đại, bằng những máy móc tối tân nhất, chúng ta cũng không thể xác định rõ ràng những điểm 0 lý tưởng nằm trong không gian. Như vậy, công việc đó được các nhà xây dựng Ai Cập xưa tiến hành như thế nào cũng là một câu đố bí ẩn không kém cách họ xây kim tự tháp. Thiên nhiên đầy ắp các bí ẩn nhưng cũng trao cho con người các công cụ "tự nhiên" để giải đáp các bí ẩn đó. Đây là nguyên tắc đơn giản nhất và hiệu quả nhất mà như các nhà khoa học hiện đại đều vô tình quên mất. Nhưng đối với các nhà khoa học xưa, khi mà những nghiên cứu khoa học của họ còn gắn liền với các nghi thức tôn thờ những sức mạnh thần bí trong tự nhiên, thì bất kỳ một vật tồn tại nào cũng chính là một chìa khoá vàng mở vào những bí ẩn của thiên nhiên.
Qua nghiên cứu nhiều hình vẽ, chúng ta có thể thấy rằng hình xoáy trôn ốc được phân tích rất kỹ càng chứng tỏ các nhà xây dựng Ai Cập đã lưu ý đến cấu trúc thiên nhiên kỳ lạ này. Rất nhiều người không để ý đến những vỏ ốc đươn sơ ấy, nhưng trước khi giải mã bẩn của chúng, ta cần phải hiểu một điều mấu chốt khác. Để làm một thí nghiệm đơn giản (bất ký ai cũng làm được để có thể kiểm chứng phát hiện kỳ lạ sau) các nhà khoa học bắt những con ốc sống cho vào một bình thuỷ tinh với máy đo nhịp rung và đường đi của chúng. Sau khi làm quen với nơi ở mới, các con ốc bắt đầu tìm cách tiến lên mặt nước. Một số con bám vào thành thuỷ tinh và bò lên. Đây không phải là điều chúng ta cần lưu tâm. Điều kỳ diệu diễn ra ở những con còn lại. Có một số con ốc có một cách tiến lên mặt nước rất đặc biệt. Chúng khởi đầu từ mặt phắng đáy bình thuỷ tinh, tiến lên mặt nước bằng trôn (khi miệng nó không còn bám vào đáy thuỷ tinh, trôn ốc sẽ tạo một đường xoáy bí ẩn để nổi lên mặt nước).
Các nhà khoa học đo lại các thông số và phát hiện một điều hết sức thú vị. Trong hình học, đường vuông góc giữa hai mặt phẳng trong tự nhiên được coi là khoảng cách ngắn nhất giữa hai mặt phẳng đó. Nhưng có lẽ trong môi trường nước, đường vuông góc giữa mặt nước và bề mặt đáy thì điều đó không còn chính xác nữa. Xét theo áp lực của các lực tác động vào một vật (ví dụ các loài sống dưới nước chẳng hạn..) con đường ngắn nhất không phải là đường vuông góc từ vật đó lên mặt nước. Đường đi lý tưởng nhất (và do đó ngắn nhất, nhanh nhất) chính là đường đi xoáy trôn của một con ốc. Các nhà khoa học quả quyết rằng, cấu trúc của vỏ ốc liên quan đến những điểm 0 lý tưởng và con ốc đã được thiên nhiên ban tặng cho mọt bộ áo kỳ diệu có thể "dung hoà" (hay đánh "trượt" đi) các lực tác động của tự nhiên lên mình nó. Từ đây chúng ta có thể hình dung các nhà xây dựng Ai Cập xây kim tự tháp như thế nào…
Thông thường mọi người vẫn quan niệm rằng chúng ta đang sống trong một không gian chiều thứ tư - một chiều không gian có làm đảo lộn mọi quy tắc trên mặt đất. Nhưng thực ra, chúng ta và sự vật luôn luôn chỉ "tồn tại" trong một chiều không gian. Điều này đã tạo ra sự chênh lệch rất lớn của các lực tác động tự nhiên như trên. Các khối đá khổng lồ cho dù có được (như cách xây dựng hiện đại) chồng theo nhiều mặt nghiêng khác nhau, nhưng rốt cục vẫn cùng nằm trên một chiều không gian.
Chúng ta thử hình dung, để nâng những khối đá lớn đó lên cao, các nhà xây dựng Ai Cập sẽ tạo ra một cái hồ rộng lớn ôm lấy cả khu đất xây dựng kim tự tháp. Mực nước sẽ dâng cao dần theo vị trí của các lớp khối đá được xây dựng. Khi dùng dây tải hoặc đòn bẩy (giả thiết cách nâng những khối đá một ách thô sơ nhất như vậy) để đưa một khối đá vào đúng vị trí thi công việc đó tiến hành trong môi trường nước đơn giản và nhẹ nhàng hơn rất nhiều so với tiến hành công việc đó bên ngoài. Nhưng xin được nhấn mạnh rằng, tác dụng của hồ nước nhân tạo này không nhằm mục đích để vận chuyển những khối đá một cách nhẹ nhàng hơn. Nó được tạo ra để các nhà xây dựng "truy tìm" được những điểm 0 lý tưởng trong không gian xây dựng.
Để làm công việc đó, người ta dùng một chiếc vỏ ốc khổng lồ (không thể làm một mô hình vỏ ốc được vì dù có nghệ nhân có mô phỏng tinh xảo đến đâu cũng không chính xác như tự nhiên) và cố gắng "kích" cho nó chuyển động từ nước lên mặt nước theo "cách đi" của con ốc tự nhiên. (Điều này đã được nghiên cứu kỹ càng từ trước). Sau khi khiến vỏ ốc chuyển động thật nhiều lượt đi từ một điểm cố định dưới đáy lên mặt nước (chú ý rằng mặt nước này luôn cao hơn vị trí tìm kiếm, tức là vị trí lý tưởng để đặt một khối đá vào), các nhà xây dựng dễ tính toán kỹ được điểm nào (gần vị trí giả định xây tảng đá nhất) nơi vỏ ốc đi qua chịu ít lực tác động nhất. Đây là điều hoàn toàn có thể tính toán được, nhất là khi chúng ta lại tìm kiếm điểm đó trong môi trường nước (môi trường "thực" hơn môi trường không khí). Chiếc vỏ ốc được dùng để đo tất cả những điểm xây dựng lý tưởng đã được xác định, công việc còn lại chỉ là chuyển những tảng đá khổng lồ vào đúng vị trí của nó.
Với kiến thức toán học kỳ lạ và bí ẩn của mình, các nhà xây dựng Ai Cập không chỉ tạo nên các kỳ quan thế giới mà dường như mô hình kim tự tháp còn chứa đựng một câu đố rất kỳ diệu về cuộc sống. Chính điều này (chứ không phải ý nghĩa của các mộ pharaoh) đã làm cho bao nhiêu thế hệ các nhà khoa học hiện đại tò mò và bỏ công sức nghiên cứu về những bí ẩn trong cách xây dựng kim tự tháp.

[pacific_boy571]

Trong toán học có nhiều điều kì lạ với những quy luật riêng .Xin giới thiệu với các bạn một vài quy luật bất ngờ để bạn có ít phút tiêu khiển bằng toán học.
Đầu tiên là con số 1089,xin bạn chú ý đến hàng dọc chúng đều tăng giảm đúng trật tự quy định:


1089*1=1089
1089*2=2178
1089*3=3267
1089*4=4356
1089*5=5445
1089*6=6534
1089*7=7623
1089*8=8712
1089*9=9801

Số 142857 cũng là một con số kỳ lạ,nhân với 7 bạn sẽ thấy

142857*7=999999

Nhân với các số 2,3,4,5,6 bạn sẽ thấy tích số mà trong đó con số chỉ lẩn quẩn ,loanh quanh, đảo lên đảo xuống

142857*1=142857
142857*2=285714
142857*3=428571
142857*4=571428
142857*5=714285
142857*6=857142

Tiếp theo con số tự nhiên sắp xếp rất đặc biệt

0*9+1=1
01*9+2=11
012*9+3=111
0123*9+4=1111
01234*9+5=11111
012345*9+6=111111
0123456*9+7=1111111
01234567*9+8=11111111
012345678*9+9=111111111
0123456789*9+10=1111111111

Con số 12345679 nhân với bội của 9

12345679*9=111111111
12345679*18=222222222
12345679*27=333333333
12345679*36=444444444
12345679*45=555555555
12345679*54=666666666
12345679*63=777777777
12345679*72=888888888
12345679*81=999999999

Cuối cùng là con số 2519

2519:10 dư 9
2519:9 dư 8
2519:8 dư 7
2519:7 dư 6
2519:6 dư 5
2519:5 dư 4
2519:4 dư 3
2519:3 dư 2
2519:2 dư 1
2519:1 dư 0


Tiếp theo là số 73.939.133. Con số này có gì đặc biệt ?
Trong một lần được mời đến nhà Trắng tham dự buổi lễ trao huy chương vì những thành tích mà giáo sư Googol đã đạt được. Lúc đến gần tổng thống, giáo sư có hỏi nhỏ tổng thống một câu, tương tự như câu trên đó. Tổng thống lúc đó quay ngang quay dọc,hỏi ý kiến cố vấn. Tiếc rằng thời gian gặp gỡ trực tiếp với tổng thống không được nhiều, nên giáo sư đã không nhận được câu trả từ phía tổng tống . (không biết tổng thống Mỹ nào giỏi toán nhất nhỉ ?)
Đây là điều la lạ của con số 73.939.133 .Bạn có thể nhìn vào dãy số sau:
73939133
7393913
739391
73939
7393
739
73
7
Tất cả chúng đều là số nguyên tố.
Tương tự,người ta cũng có một dãy số nguyên tố :
31
331
3331
33331
333331
3333331
33333331
Tiếc rằng số tiếp theo 333.333.331 = 17*19.607843 ,lại không là số nguyên tố

Bạn tính lại xem,quy luật trên có đúng không?

[Người Đưa Tin]

Hi hi ! Thế này mi chịu khó copy về cho anh em xem vậy. Cũng có cái hay rồi đấy.

[pacific_boy571]

Leonhard Euler (1707 - 1783 )

http://mathlib.info/images/anhcanhan/euler.jpg
Xin giới thiệu với các bạn bài viết mở đầu trong loạt bài viết về Leonhard Euler, được bạn madness trích đoạn và dịch từ quyển sách Euler - The master of us all của tác giả William Dunhamm, bài viết này giới thiệu qua về tiểu sử và cuộc đời của Euler - nhà toán học thiên tài thế kỷ XVIII.
Cuộc đời của Euler (1707-1783) được gói gọn trong thế kỉ 18: 76 năm từ mùa xuân 1707 tới mùa thu năm 1783. Cùng thời với ông còn có rất nhiều tên tuổi nổi tiếng: Benjamin Franklin (1706-1790), Washington (1732-1799), Robespierre (1758-1794), Captain Cook (1728-1779).
Leonhard Euler được sinh ra tại Basel, Thụy Sĩ. Cha ông là một giáo sĩ Tin Lành và luôn hy vọng Leonhard sẽ theo bước ông trên những bục giảng kinh. Mẹ ông cũng xuất thân từ một gia đình mục sư, vì thế chàng trai trẻ Euler dường như được sinh ra để dành cho tôn giáo.
Thuở nhỏ, Euler là cậu bé được ban tặng một tài năng đặc biệt về ngôn ngữ và một trí nhớ phi thường. Cậu còn có khả năng thực hiện những phép tính phức tạp mà không cần giấy bút. Năm 14 tuổi, Euler vào trường Đại học Basel dưới sự dẫn dắt của một giáo sư Toán nổi tiếng: Johann Bernoulli (1667-1748).
Từ năm 1721, Bernoulli được xem như là nhà toán học giỏi nhất thời bấy giờ (Leibniz đã mất vài năm trước, Newton đã từ bỏ Toán học vì tuổi tác). Bernoulli – một người rất ít khi khen ngợi người khác – đã từng viết cho Euler: “Tôi trình bày các phép tích phân như một sự khởi đầu, nhưng chính cậu là người đã đưa nó đến sự trưởng thành.” Tại Đại học, Euler không chỉ học Toán mà còn phải học Thần học, viết về Lịch Sử của Luật và hoàn tất bằng Thạc sỹ về Triết học. Nhưng vì lòng đam mê Toán học, ông đã quyết định rời bỏ khoa Thần học và trở thành một nhà toán học.
Năm 20 tuổi, Euler trở nên nổi tiếng qua các kì thi khoa học quốc tế. Năm 1727, Euler tới học viện St. Petersburg theo lời mời của Daniel Bernoulli (1700-1782) (con trai của Johann Bernoulli), và tham gia cùng Daniel trong các cuộc thảo luận về Vật lý và Toán học. Vào năm 1733, Daniel rời khỏi học viện và để lại một vị trí quan trọng mà không lâu sau Euler được bổ nhiệm vào. Không lâu sau, Euler cưới Kathariana Gsell - con gái một họa sỹ và sau hơn bốn mươi năm chung sống, 13 “Euler con” đã chào đời.
Một trong những thành công ban đầu của Euler là lời giải cho bài toán Basel – một vấn đề hóc búa đã làm đau đầu các nhà toán học của thế kỉ trước. Năm 1644, bài toán Basel được đưa ra bởi Pietro Mengoli (1625-1686) với yêu cầu tìm ra giá trị chính xác của tổng: (1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/k^2 + … ). Những kết quả xấp xỉ cho thấy tổng trên gần bằng 8/5. Tuy nhiên, kết quả chính xác vẫn nằm trong “vùng tối” cho tới năm 1735, Euler đưa ra đáp án gây ngạc nhiên cho các nhà toán học: pi^2/16. Tiếp theo đó, các bài báo của ông (papers) cứ lần lượt được xuất bản thông qua tạp chí khoa học của học viện St. Petersburg. Trong một số ấn phẩm, một nửa các bài báo xuất bản thuộc về Euler.

http://mathlib.info/images/anhcanhan/euler2.jpg
Thời gian Euler ở St. Petersburg sẽ là một cuộc sống trong thiên đường Toán học nếu như ông không gặp phải một số khó khăn khá lớn. Thứ nhất, sự rối loạn chính trị trong nước Nga sau cái chết bất ngờ của Catherine I đã gây nên một sự xôn xao trong giới học viện về vị trí của Euler khi Học viện này chỉ có các nhà khoa học người Nga. Tiếp theo đó là sự không thoải mái của Euler khi Học viện được điều hành bởi một quan chức luôn tìm cách kiềm chế tài năng khoa học. Vấn đề thứ ba là sự suy giảm thị lực nghiêm trọng của Euler: năm 1738 (31 tuổi) ông đã bị mù mắt bên phải, tuy nhiên ông đã không để điều này làm ảnh hưởng tới các hoạt động nghiên cứu của mình. Ông tiếp tục viết các bài báo về thiết kế tàu, âm học, và lý thuyết về hòa âm. Được sự động viên của bạn ông - Christian Golbach (1690-1764), Euler đã đưa ra các kết quả trong Lý thuyết số, và Số học Giải tích, và đặt nền móng cho Toán Tổ hợp. Trong thời gian này, Euler đã viết tác phẩm Mechanica trình bày các định luật chuyển động của Newton dưới dạng Toán giải tích. Do đó Mechanica được đánh giá là một bước ngoặt lớn trong lịch sử Vật lý.
Với những thành quả như thế, tiếng tăm của Euler đã khiến Hoàng đế nước Phổ -Frederick Đại Đế - (1712-1786) mời ông vào Học viện Berlin.
Bởi vì tình hình chính trị bất ổn ở Nga (mà Euler đã miêu tả rằng: “một đất nước nơi mỗi người phát biểu ý kiến đều bị treo cổ”), Euler đã cùng gia đình chuyển sang Đức vào năm 1741. Trong thời gian ở Đức, Euler đã xuất bản 2 tác phẩm nổi tiếng nhất của ông: Introductio in analysin infinitorum (1748) và Institutiones calcul differentialis (1755), với khám phá ra số phức, đẳng thức Euler: e^(ia) = cosa + i sina, và một chứng minh cho định lý cơ bản của đại số.
Tại Berlin, Euler đã được mời giảng thuyết các vấn đề khoa học phổ thông cho Quận chúa Anhalt Dessau. Kết quả là một tác phẩm lớn bao gồm nhiều tập, liên tục được xuất bản dưới dạng những lá thư giảng giải cho Quận chúa: Những bức thư gửi Quận chúa (Letters of Euler of Different Subjects in Natural Philosophy Addressed to a German Princess). Tuyển tập này bao gồm hơn 200 “lá thư” giới thiệu các chủ đề rất đa dạng như ánh sáng, âm thanh, trọng lực, logic, ngôn ngữ, từ trường, và thiên văn học. Những bức thư gửi Quận chúa ngay lập tức trở nên nổi tiếng và được dịch ra rất nhiều ngôn ngữ, cuối cùng nó đã trở thành tác phẩm được đọc nhiều nhất của Euler.
Mặc dù đã xa nước Nga, từ Đức Euler vẫn tiếp tục làm chủ bút cho tạp chí khoa học của St. Petersburg và xuất bản nhiều bài báo cho tạp chí. Bên cạnh những nghiên cứu toán học, ông còn đảm trách nhiều nhiệm vụ về quản lý tại Học viện Berlin như một người quản lý (không chính thức). Tuy nhiên, Frederick Đại đế là một người tự cao và coi khinh những học giả lớn thời bấy giờ; thêm vào đó là sự bất hòa giữa ông và Voltaire tại Học viện Berlin. Những điều này đã khiến Euler bị mất vị trí tại Học viện, sau đó ông quyết định trở lại Học viện St. Petersburg do tình hình chính trị tại Nga đã có những chuyển biến tốt đẹp.
Mặc dù sự nghiên cứu khoa học của ông đạt những thành quả rất tốt đẹp, trong một vài năm ông đã gặp 2 biến cố bất hạnh. Năm 1771, ông đã bị mù hoàn toàn khi con mắt còn lại cũng không thể được cứu chữa. 2 năm sau, Katharina qua đời. Những biến cố này đã báo hiệu dấu chấm hết cho những năm nghiên cứu miệt mài của ông. Tuy nhiên, Euler vẫn tiếp tục xuất bản một bài báo một tuần. Trong những năm tháng mù lòa, ông đã viết một quyển sách về đại số, một luận án dài 775 trang về chuyển động của mặt trăng, và 3 tập sách dày phát triển những kết quả về tích phân. Những năm cuối đời ông đã đưa ra các nghiên cứu quan trọng về thiên văn học như hoạt động của sao Thiên Vương, những phương trình về quỹ đạo giúp các nhà thiên văn học tìm ra sao Hải Vương. (*)
Năm 1783, trong một buổi chiều thứ bảy bận rộn như mọi ngày, Euler đã qua đời trong một cơn xuất huyết. Gia đình, đồng nghiệp, Học viện, và cả cộng đồng khoa học an táng thi hài ông tại St. Petersburg và thương tiếc đưa tiễn ông về nơi an nghỉ cuối cùng

[pacific_boy571]

Augustin Cauchy (1789 - 1857 )


http://mathlib.info/images/anhcanhan/cauchy.jpg
Ông xuất thân từ gia đình khá giả ở vùng Normandie(Pháp). Ông vốn rất giỏi về văn chương nhưng năm 16 tuổi ông thi đỗ vào ĐH bách khoa PARIS.Ông đỗ đầu lúc ra trường nhưng vì say mê toán và có tài đặc biệt nên ông được bổ nhiệm làm Giáo sư môn toán cơ trường đại học bách khoa Paris.
Ông là nhà toán học pháp có nhiều đóng góp cho toán học thế giới , ở ngành nào ông cũng có công lớn , đặc biệt là về giải tích toán học .Công trình của ông nhiều đến nỗi muốn xuất bản thành sách toàn bộ cũng cần dùng đến 27 tập lớn!!.Ông còn đặt nền móng cho lý thuyết đàn hồi các vật rắn dùng để nghiên cứu sức bền vật liệu.Ông còn được giải thưởng về truyền sóng trên mặt chất lỏng .Ông còn phát minh cách tính mới về chuyển động của các hành tinh .Ông là người đã chứng minh 1 cách cụ thể sức mạnh không có giới hạn của Toán học để nghiên cứu thiên nhiên , ví dụ Sự truyền ánh sáng, sự khúc xạ , sự phản xạ....

[pacific_boy571]

Matthew Stewart (1717 - 1785 )

Nhà toán học Scotland Matthew Stewart đã từng là sinh viên đại học Glasgow từ 1734, ở đó theo bài giảng của Robert Simson. Sau đó ông về học Đại học Edimbourg để học trực tiếp với Giáo Sư Mac-Laurin và về sau ông được cử thay thế thầy học của ông từ năm 1747. Ông dùng nhiều thời gian để trình bày lại, hoàn chỉnh cách chứng minh các định lý của các nhà toán học Hy Lạp tiền bối bằng những phương pháp hiện đại hơn. Ông còn nghiên cứu thiên văn để lại cho đời bao sau cách tính khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời.

[pacific_boy571]

ĐỖ ĐỨC THÁI
http://mathlib.info/images/anhcanhan/doducthai.jpg


TTCN - GS.TS toán học Ðỗ Ðức Thái là người có tuổi đời trẻ nhất trong số 62 GS vừa được Nhà nýớc phong chức danh nãm 2003. Cách đây bảy nãm, anh cũng là người trẻ nhất được nhận chức danh PGS khi mới 35 tuổi. Những thành tựu mà người đàn ông 42 tuổi này có được là kết quả của niềm say mê và những nỗ lực phấn đấu không ngừng.
1. Ðến nãm 2003, GS.TS Ðỗ Ðức Thái đã có tròn 20 nãm đứng trên giảng đường Trường ÐH Sư phạm Hà Nội - một tuổi nghề quá dài so với tuổi đời. Nhýng nếu tính thâm niên anh gắn bó với trường thì còn lâu hơn nữa.
ÐH Sư phạm Hà Nội chính là cái nôi vun đắp cho ước mơ học toán của GS Thái từ khi anh bắt đầu vào học tại khối phổ thông chuyên toán của trường từ nãm 1975. Năm 1978, có mặt trong đội tuyển HS VN tham dự kỳ thi Olympic toán quốc tế tại Romania, Ðỗ Ðức Thái đã mang về cho đất nước một tấm huy chương đồng. Sau đó, anh chỉ mất vỏn vẹn có... hai năm để hoàn thành chương trình ÐH khoa toán của Trường ÐH Sư phạm Hà Nội, là một trong những giáo sinh xuất sắc nhất khóa được giữ lại trường làm giảng viên ở bộ môn hình học.
Cái duyên của anh với nghề làm thầy có lẽ còn xuất phát từ cái “nghiệp” của gia đình. Cha anh là một giáo viên, cả bốn anh chị em đều có nãng khiếu về toán học và đều có duyên với ngành sư phạm. Ðỗ Ðức Thái được các nhà toán học quốc tế dánh giá cao, nhất là trong lĩnh vực hình học giải tích. Hiện là GS thỉnh giảng tại một số trường ÐH của Pháp, mỗi năm anh phải dành bốn tháng để giảng dạy và hướng dẫn nghiên cứu sinh theo lời mời của các trường ÐH Pháp. Ngoài vốn tiếng Nga (chủ yếu bằng con đường tự học), anh có thể giảng dạy bằng tiếng Anh, sử dụng đýợc tiếng Pháp.
2. Tuy đã sớm thu được thành công bằng tấm huy chương đồng Olympic quốc tế nhưng con đường theo đuổi nghiên cứu về toán học của GS Ðỗ Ðức Thái không phải chỉ được trải bằng hoa hồng.
Trong khi phần lớn các thành viên trong đội tuyển Olympic quốc tế và nhiều bạn cùng học khối chuyên toán được tiếp tục học tập ở nước ngoài thì những lý do tế nhị liên quan đến lý lịch gia đình khiến Ðỗ Ðức Thái không có cơ hội ấy.
Nhưng ở tuổi 18, sự việc ấy không làm Thái chán nản hay mặc cảm, càng không làm ảnh hưởng đến ý chí của Thái bởi một điều giản dị: “Ðối với tôi được học toán là toại nguyện rồi. Dĩ nhiên được học tập ở nước ngoài vào giai đoạn đó sẽ có những điều kiện thuận lợi hơn rất nhiều, nhýng điều đó không có nghĩa học trong nước là thua thiệt”. Ðỗ Ðức Thái luôn là một trong những SV giỏi nhất của khoa toán ÐH Sư phạm Hà Nội.
Nhưng số phận còn tiếp tục thử thách anh. Năm 1989, sau nhiều nãm giảng dạy tại trường, anh được cử đi Liên Xô (cũ) làm luận án phó tiến sĩ ở một viện nghiên cứu tại thành phố Nôvôxbiêc xa xôi giữa Xibêri tuyết trắng lạnh giá. Ở đấy, trong vòng bán kính 1.000km, ba năm liền anh là người VN duy nhất. Ðến khi anh hoàn thành việc nghiên cứu để bảo vệ luận án lại là thời điểm xảy ra những biến cố chính trị dẫn đến nhiều thay đổi ở nước Nga, trong đó có những thay đổi về chính sách viện trợ trong giáo dục đào tạo.
Viện nghiên cứu nơi anh làm nghiên cứu sinh không còn kinh phí bao cấp cho các lưu học sinh theo hiệp định giữa VN và Liên Xô (cũ). Ðể trang trải chi phí cho việc tổ chức hội đồng bảo vệ luận án, anh cần có 1.500 USD (thời điểm nãm 1992). Khoản tiền quá lớn, vượt ngoài khả nãng nên anh quyết định về nước, để rồi ba tháng sau anh bảo vệ thành công luận án phó tiến sĩ tại Trường ÐH Sư phạm. Năm 1995 anh tiếp tục bảo vệ luận án tiến sĩ toán học, cũng tại trường.
Chỉ từ nãm 1996 đến nay anh đã chủ trì ba đề tài khoa học cấp nhà nước, một ðề tài cấp bộ, viết sách và giành nhiều thành công trong nghiên cứu toán học... Những ngýời biết Thái lâu nãm ðều có nhận xét: những gì anh ðạt ðến ngày hôm nay dýờng nhý không có bóng dáng của sự may mắn. Anh lẳng lặng phấn ðấu theo cách của mình: trau dồi cả chuyên môn và nghiệp vụ sý phạm ðể trýớc hết vững vàng trên bục giảng với cýõng vị ngýời thầy, kiên trì và nỗ lực tự học, tự nghiên cứu trên cýõng vị một nhà khoa học.
3. Nhìn lại chặng ðýờng mình ðã ði qua, GS Thái cho rằng: “Ðiều may mắn nhất của tôi là ðýợc học tập ở môi trýờng giáo dục tốt, có nhiều ðiều kiện ðể học toán là Trýờng ÐH Sý phạm Hà Nội, ðýợc sự dìu dắt của những ngýời thầy giỏi ðầu ngành về toán lý thuyết ở VN là GS Ðoàn Quỳnh và GS Nguyễn Vãn Khuê”.
Các GS này ðã có thể tự hào về Ðỗ Ðức Thái khi giờ ðây, chỉ ở tuổi 42, anh ðã trở thành GS toán học, là một ðồng nghiệp của họ. Ðýợc phong chức danh GS, theo Ðỗ Ðức Thái, trách nhiệm giảng dạy của anh sẽ nặng nề hõn.
Anh nói: “Sẽ không bao giờ ðýợc nói “không” với các nghiên cứu sinh”. Anh dành nhiều thời gian, công sức và tâm huyết cho việc hýớng dẫn nghiên cứu sinh, ðào tạo các giảng viên mới vì “cảm thấy thật sự lo lắng khi nhìn lại ðội ngũ giảng viên ðang hụt hẫng”. GS-TS Ðỗ Ðức Thái nói: “Ngýời thầy giỏi cực kỳ quan trọng ðối với chất lýợng giáo dục. Truờng sý phạm lại càng cần có thầy giỏi và tâm huyết”.

[pacific_boy571]

Alexander Grothendieck (???? - ???? )
http://mathlib.info/images/anhcanhan/grothendieck.jpg
[B]Alexander Grothendieck đã 35 năm rời bỏ IHES và giới tóan học nói chung. Nhưng như người ta vẫn gọi ông là "The Genius of Bues-sur-Yvette" (nên nhớ là IHES đã là nơi nghiên cứu hoặc đang là nơi nghiên cứu một loạt các cây đại thụ toán khác như Alain Connes, Kontsevich, Gromov, Deligne,..), Grothendieck đã và vẫn là một nhân vật có ảnh hưởng sâu sắc đến sự phát triển của tóan học trong nửa sau thế kỷ 20

Mặc dù đã sớm kết thúc sự nghiệp tóan học của mình vào năm 1970 ở tuổi 42 do bất đồng quan điểm với người sáng lập ra IHES về việc nhận tiền tài trợ của bộ quốc phòng Pháp để duy trì IHES, nhưng tinh thần và chương trình mà Grothendieck đưa ra cho tóan học vẫn còn tồn tại xuyên suốt thời gian qua. Cụ thể nhất và gần đây nhất là Motivic Cohomology của Voevodsky- người đựơc Fields cho công trình này năm 2002.
Cuộc đời của A. Grothendieck là cuộc đời của một người gặp nhiều bất hạnh lúc nhỏ, rất có thể vì thế, ông mang trong người nhiều sự đau đớn và nhiều trăn trở với nhân lọai. Ông không phải là một nhà họat động chính trị có tài, không phải là một người có khả năng thay đổi thế giới thực, nhưng đã luôn là một người vì lý tưởng của mình, sẵn sàng rời bỏ mọi thứ, bất chấp mọi rào cản để cố gắng thực hiện đựơc niềm tin của mình đối với nhân lọai. Không phải ai trong giới khoa học cũng có đựơc một tinh thần, một tình yêu nhân lọai, yêu hòa bình như vậy (2).
Ngày nay- theo như một vài người còn có thể gặp đựơc Grothendieck ở nơi ông tu ẩn suốt 15 năm nay- một vùng núi hẻo lánh ở miền Bắc nước Pháp, thì ông đã trở nên mất trí, với những tưởng tượng như: "hôm qua tôi nhìn thấy quỉ sứ, bay với tốc độ 299999999 km/s". Nhưng hiện nay, hàng ngày, trường đại học Montpelier- nơi ông dạy học những năm hậu IHES (1973-1988) vẫn nhận đựơc một đống thư từ gửi đến địa chỉ email của ông, và số người xếp hàng để được có cơ hội gặp ông ở nơi ông tu ẩn vẫn rất lớn. Tuy nhiên chỉ có vài người là còn đựơc phép gặp Grothendieck.
Vậy Grothendieck đã làm gì để nhận được một sự sùng bái to lớn đến thế?
Ông cách mạng hình học đại số, các khái niệm nền tảng của hình học đại số hiện đại là của ông, và vì hầu như tất cả do ông nghĩ ra, người ta không gọi kèm tên ông với chúng nữa. Chỉ những gì mà là ý tưởng của ông nhưng người khác phát triển, thì người ta mới dùng tên ông để gọi. Cả thế giới nghiên cứu hình học đại số thời đó là học trò của ông (tất cả các trung tâm hình học đại số của Mỹ, Anh, Pháp, Đức, Nga, Nhật). Kể cả những người không thích như thế cũng phải đi theo con đường của ông và ông như người thầy giáo giao bài tập cho từng nhân vật một nghiên cứu hình học đại số trên khắp thế giới. Vậy hình học đại số là gì trong toán học mà ý nghĩa của nó to lớn như thế?
Hình học đại số là một phát triển cao hơn của đại số - ngành toán xương sống cho hầu như mọi ngành tóan khác. Các viện nghiên cứu lớn trên thế giới hiện nay như IAS Princeton, Harvard, Berkeley, IHES, các viện ở Nga .v.v. cũng có thành phần nền tảng là nghiên cứu hình học đại số.
Vậy cái gì là đặc biệt ở Grothendieck?
Khả năng tổng hợp hóa, khả năng trừu tượng hóa của trừu tượng hóa có một không hai của ông! Grothendieck không phải là một "nhà chứng minh" như Paul Erdos hay John Nash. Ông chưa từng thi olimpic toán , và như ông nói sau này, thì ông "không bao giờ nghĩ rằng ông có thể sẽ được giải olimpic toán nếu đi thi, chứ đừng nói gì được giải tới 3 lần như một vài người khác". Grothendieck ghét tất cả mọi mẹo, thuật giải tóan lặt vặt, và cho dù các thủ thuật ấy có tác dụng lớn đến đâu - (như việc nhờ nó, Deligne - học trò giỏi nhất của ông, đã chứng minh được giả thuyết Weil thứ 3 - giả thuyết mà Grothendieck dùng tất cả sức lực và tâm huyết xây dựng mọi lý thuyết hình học đại số để xoay quanh nó, xây dựng nó và chứng minh nó)
Grothendieck cũng không dành sự quan tâm cho chứng minh ấy. Có những công trình, nhờ những mẹo nhỏ dẫn tới kết quả, Grothendieck cũng bỏ không công bố, mà đưa cho người khác công bố - ví dụ trường hợp Borel- Serre.
Có thể lấy vài ví dụ để chứng minh khả năng tổng quát hóa đặc biệt của ông. Sau khi nghe tin Hirzebruch chứng minh được lý thuyết Riemann-Roch cho các nghiệm chiếu nonsingulare (projective nonsingulare variety) năm 1954, khi cả giới tóan học vui mừng, thì Grothendieck lại một mình đi chứng minh lại nó cho một hiện tượng khác trong toán, tổng quát hơn. Ông nói với Serre: "Không, lý thuyết Riemann- Roch không phải là lý thuyết cho các nghiệm, mà nó là lý thuyết dành cho các Morphirms giữa các hệ nghiệm ấy! " Rồi ông đưa ra các định nghĩa mới như Topos: không gian của không gian, Schemata: hệ nghiệm của hệ nghiệm. Khả năng trừu tượng và tổng quát hóa ấy chỉ có ở Grothendieck!
Trong bài viết dưới đây, câu kết cuối cùng của người viết là: Alexander Grothendieck là Albert Einstein của tóan học thế kỷ 20. Câu này có lẽ là câu dễ hiểu hơn cả đối với tất cả chúng ta.
Đối với riêng Việt Nam: Grothendieck đã trực tiếp dẫn một đoàn các nhà tóan học Pháp sang làm việc ở VN 3 tuần vào năm 1967, 1968- trực tiếp giảng tóan cho giáo sư, sinh viên tóan ở đại học tổng hợp Hà Nội, bất chấp bom đạn và máy bay Mỹ.

-------------------------------
(1)- Bures- sur- Yvette là địa chỉ của viện IHES nổi tiếng ở Paris.
(2)- nếu nhìn ngược lại hội chế tạo bom nguyên tử của Mỹ hồi thế chiến thứ 2- gồm Oppenheimer, John von Neumann, Freymann .v.v. Hội này sau khi nghe tin 2 quả bom ném xuống Hirosima và Nagasaki đã giết chết mấy chục ngàn người và phá hủy 2 thành phố này hòan tòan, đã tổ chức ăn mừng. Khi phóng viên hỏi họ tại sao ăn mừng, Feymann đã phát biểu rằng:" Việc người ta dùng bom làm gì không liên quan đến chúng tôi, chúng tôi là những người làm khoa học, và chúng tôi làm vì chúng tôi muốn làm khoa học, chúng tôi muốn thành công" .v.v.

[pacific_boy571]

Pythagore (572 TCN - ???? )
http://mathlib.info/images/anhcanhan/pythagore.gif
Pythagoras ( Pitago) sinh vào khoảng năm 572 trước công nguyên, trên hòn đảo Aege cuả Samos. Pythagoras sinh sau Thales khoảng 50 năm và đã học hỏi nhiều điều từ Thales. Có khoảng thời gian ông sống ở Ai Cập, sau này ông định cư ở miền nam nước Ý và chính tại nơi đây ông đã lập nên trường phái Pythagoras nổi tiếng và cũng trở thành một viện nghiên cứu triết học, toán học và khoa học tự nhiên rồi phát triển thành một hội nghiên cứu với những tôn chỉ bí mật. Do ảnh hưởng và khuynh hướng quí tộc của hội quá lớn nên các lực lượng dân chủ ở miền nam nước Ý đã phá huỷ toà nhà của học viện và bắt phải giải tán. Người ta nói rằng Pythagoras đã trốn về Metapontum và chết ( có thể bị giết ) vào khoảng 75 đến 80 tuổi. Mặc dù bị tan rã song hội nghiên cứu này vẫn tiếp tục tồn tại hơn hai thế kỷ nữa .

Pythagoras và số .
Con người đã làm quen với các sô tự nhiên , phân số và số hữu tỉ rất sớm và rất lâu dài. Riêng đối với số vô tỉ, Pythagoras đã phát hiện ra sự tồn tại của nó khi nghiên cứu đường chéo của hình vuông cạnh là một đơn vị. Họ phát hiện rằng đường chéo này không thể biểu thị bằng số tự nhiên hay hữu tỉ.
Việc khám phá ra tính vô tỉ của số đã gây kinh hoàng trong hàng ngũ các môn sinh Pythagoras. Không những nó đảo lộn giả định cho rằng mọi thứ đều phụ thuộc các số nguyên mà còn làm cho một số lý thuyết tổng quát của họ trở nên vô giá trị. Vì vậy, mọi môn đồ Pythagoras phải giữ kín nó , và có lưu truyền rằng một môn sinh của Pythagoras tên là Hippasus ( hoặc một người nào đó) đã để lộ bí mật này ra ngoài đã bị giết ngoài biển, hoặc ( theo một nguồn thông tin khác ) đã bị đuổi khỏi trường phái Pythagoras .
Đã có lúc được coi là số vô tỉ duy nhất. Về sau này, theo Plate thì Theodorus ở Cyrene ( khoảng 425 trước công nguyên ) đã chỉ ra rằng cũng đều là các số vô tỉ .
Trường phái Pythagoras có những quan niệm thần bí về số và họ tôn thờ những chữ số và số. Trước khi vào nghe giảng bài, môn đồ của Pythagoras đã đọc những câu kinh như sau :" Hãy ban ơn cho chúng tôi, hỡi những con số thần linh ".
Trường phái Pythagoras cho rằng :
Số 1 biểu thị lẽ phải,
Số lẻ là số nam, số chẵn là số nữ,
Số 5 biểu thị hạnh phúc gia đình vì là tổng của số nam và số nữ đầu tiên,
Số 7 biểu thị sức khoẻ,
Số 13 được coi là điềm xấu,
Trường phái đưa ra nhiều loại số khác nhau :
- Số hoàn chỉnh : là số mà bằng tổng các ước số thật sự của nó. Chẳng hạn, 6 ( 6=1+2+3), 28, 496, 8128 là những số hoàn chỉnh và cũng nêu lên qui tắc tổng quát để tìm các số loại này mà việc chứng minh đã có từ thời Euclid .
Nếu tổng 1+2+22 +...+2n = p là số nguyên tố thì 2np là số hoàn chỉnh. Chẳng hạn 1+2+4 = 7 là số nguyên tố thì 4.7 = 28 là số hoàn chỉnh.
- Số bạn bè : hai số được gọi là số bạn bè khi mỗi số là tổng các ước số của số kia. Thí dụ, 220 và 284 là hai số bạn bè .
Định lý Pythagoras và các bộ số Pythagoras .
Định lý về hệ thức liên hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông: bình phương của cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương của hai cạnh là một khám phá độc lập mà xưa nay người ta vẫn nhất trí xem là của Pythagoras và cho nó mang tên của ông. Định lý này đã được người Babylon biết trước đó hơn một năm, nhưng có thể chứng minh tổng quát đầu tiên cho định lý này là do Pythagoras thực hiện. Kể từ thời Pythagoras đã có nhiều cách chứng minh khác nhau về định lý Pythagoras. Trong lần xuất bản lần thứ hai cuốn sách "Mệnh đề Pythagoras" của mình, E.S. Loomis đã thu thập và phân loại 370 cách chứng minh cho định lý nổi tiếng đó.
Có liên hệ mật thiết với định lý Pythagoras là bài toán tìm các số nguyên dương để chúng có thể là độ dài của ba cạnh của một tam giác vuông. Bộ ba các loại số này được gọi là bộ ba Pythagoras, người Babilon cổ đại đã biết cách tính các bộ ba đó .Trường phái Pythagoras đã được công nhận là đã đưa ra công thức : , với m là số lẻ thì ba số hạng trên của công thức trên cho ta một bộ số Pythagoras. Một công thức tương tự: (2m)2 + (m2-1)2=(m2+1)2 trong đó m có thể là chẵn hay lẻ cũng được đưa ra với cùng mục đích trên và được coi là của Plato ( khoảng 380 trước công nguyên). Chú ý rằng không có công thức nào trong hai công thức trên cho ra tất cả các bộ số Pythagoras .
Hình học
Pythagoras đã đưa ra cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương, tứ diện đều, và thập nhị diện đều. Các mặt của khối thập nhị diện đều là hình ngũ giác đều. Các đường chéo của hình ngũ giác đều tạo nên hình ngũ giác sao. Hình này là biểu tượng của sức khoẻ và cũng là dấu hiệu nhận biết của trường phái Pythagoras.
Pythagoras đã có một số kết quả khác như: định lý tổng các góc trong của một tam giác, bài toán về chia mặt phẳng thành những đa giác đều ( tam giác đều, hình vuông, lục giác đều). Ông đã nêu lên phương pháp cơ bản kết hợp hình học và số học, chẳng hạn giải phương trình bậc hai, chứng minh bằng hình học rằng tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ đơn vị là một số chính phương và mỗi số lẻ là hiệu các bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp ( 22-12=3,32-22=5,..).
Pythagoras quan tâm đến cả hình đồng dạng vì ông đã giải bài toán :" Cho trước hai hình hãy dựng hình thứ ba tương đương với một trong hai hình và đồng dạng với hình thứ ba".
Ngoài ra, trường phái Pythagoras đã khám phá ra sự phụ thuộc của chất lượng âm thanh vào chiều dài của dây dẫn. Pythagoras cũng đưa ra giả thuyết về dạng cầu của trái đất và cho rằng sao Mai và sao Hôm là cùng một ngôi sao ( sao Kim ).

[pacific_boy571]

Platon (427 TCN - 347 TCN )

Platon là nhà toán học , triết học cổ Hy Lạp sinh tại Athens. Ông là học trò của Socrat và đi nhiều nơi để trau dồi kiến thức. Khi trở về Athens năm 387 trước công nguyên ông đã thành lập một học viện nổi tiếng đáp ứng có hệ thống các nhu cầu về toán học và khoa học và chủ trì học viện này cho đến cuối đời. Hầu như toàn bộ các công trình toán học của thế kỷ thứ tư trước công nguyên là do bạn bè và môn sinh của Platon thực hiện khiến cho học viện của ông là chiếc cầu nối của trường phái toán học Pythagoras xa xưa và trường phái toán học ở Alexandria. Anh hưởng của Platon về toán học không do những khám phá của ông mà do lòng tin vào đầy nhiệt tình của ông rằng việc nghiên cứu toán sẽ mang lại cho con người một nhãn quan được tôi luyện tinh tế nhất, và do đó thật cần thiết trong việc tu dưỡng của các triết gia và cho những người cần phải điều khiển trạng thái tư tưởng của mình. Điều này giải thích tại sao trên cổng vào học viện có biển đề "Ai không thông thạo về hình học thì xin đừng vào !". Platon là trong những người sáng lập ra phương pháp logic của toán học. Vì yếu tố logic của toán học và vì ông cảm thấy việc nghiên cứu nó sẽ tạo nên tinh thần thuần khiết, nên với Platon toán học dường như có một tầm quan trọng vô cùng và cũng chính vì vậy mà nó chiếm một vị trí đáng kể trong chương trình của học viện. Platon cũng là một nhà hình học nổi tiếng với việc tìm ra 5 hình đa diện đều. Platon cho rằng cần phải nghiên cứu thiên văn học chính xác như nghiên cứu toán học nhờ vào các định lý. Người ta còn cho rằng vào những năm cuối đời Platon đã có ý tưởng rằng Trái Đất tự quay xung quanh trục. Platon cũng là người có những cố gắng nghiêm túc đầu tiên về triết học trong toán học.

[pacific_boy571]

Không phải cái nào cũng copy, baì này nhớ lại hồi cấp II thầy giáo nói, chắc cũng nhiều người bít rồi, nhưng tôi vẫn viết ra cho nhưng người nào chưa biết thì tham khảo, xem cái hay của Toán Học.
Các cậu nào biết nhiều về đề tài này thì viết lên cho anh em thao khảo với nhé.